Die lineare Interpolation ist ein sehr wichtiges Verfahren, um einen Wert zu ermitteln, der zwischen zwei gemessenen Werten liegen.
Die Interpolation kann sowohl rechnerisch als auch graphisch erfolgen. Wir werden hier den rechnerischen Weg beschreiten.
Wir betrachten als Beispiel die Daten einer
Tabelle der Dichte von Ethanol/Wasser-Mischungen bei verschiedenen Temperaturen. Wie groß ist die Dichte einer Mischung mit 23 Massen-% Ethanol bei 18 \(\Celsius\)? Dieser Wert ist
nicht tabelliert; weder die genannte Massenkonzentration noch die genannte Temperatur treten in der Tabelle auf. Wir finden aber die folgenden, in der Nähe der Sollwerte liegenden Werte:
- 20 Massen-%, 15 \(\Celsius\): 0.97065 \(\rm g \cdot cm^{-3} \)
- 25 Massen-%, 15 \(\Celsius\): 0.96421 \(\rm g \cdot cm^{-3} \)
- 20 Massen-%, 20 \(\Celsius\): 0.96861 \(\rm g \cdot cm^{-3} \)
- 25 Massen-%, 20 \(\Celsius\): 0.96165 \(\rm g \cdot cm^{-3} \)
Wie wir sehen, ändert sich die Dichte nur geringfügig.
Wir nehmen nun an, dass sich die Dichte bei 15 \(\Celsius\) im Bereich 20–25 Massen-%
linear mit der Massenkonzentration ändert, eine eventuelle Krümmung der Kurve also vernachlässigbar ist.
Rechnerische Lösung:
Wir gehen aus von der allgemeinen Geradengleichung \(y = mx + n\).
\(y\) ist hier die Dichte und \(x\) ist die Celsius-Temperatur. Die Größen \(m\) und \(n\) sind zunächst unbekannt, wir können Sie aber aus den beiden folgenden Gleichungen ermitteln:
\[0.97065 = m * 20 + n \]
und
\[0.96421 = m * 25 + n. \]
Dann ist
\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0.96421 -0.97065 }{25 - 20} = \frac {-0.00644}{5} = -0.001288. \]
Diesen Wert von \(m\) können wir in eine der beiden Gleichungen einsetzen und \(n\) ermitteln:
\[0.97065 = -0.001288 * 20 + n \]
\[n = 0.97065 + 0.001288 * 20 = 0.99641 \]
Wir haben also erhalten:
\[ m = -0.001288, n = 0.99641. \]
Damit können wir den Zahlenwert der Dichte einer Mischung mit 23 Massen-% Ethanol bei 15 \(\Celsius\) sofort berechnen:
\[\rho = -0.001288 * 23 + 0.99641 = 0.96679.\]
Wir sehen, dass der erhaltene Wert tatsächlich
zwischen den Werten bei 20 Massen-% und bei 25 Massen-% liegt.
Analog berechnen wir durch lineare Interpolation für 20 \(\Celsius\):
\[ m=-0.001392,\;n=0.99645. \]
Damit erhalten wir 23 Massen-% Ethanol und 20 \(\Celsius\):
\[\rho = -0.001392 * 23 + 0.99645 = 0.964434.\]
Wir verfügen nun über Zahlenwerte für die Dichte bei 15 \(\Celsius\) und bei 20 \(\Celsius\). Daraus können wir in einer weiteren linearen Interpolation den Zahlenwert der Dichte bei 23 Massen-% und einer Temperatur von 18 \(\Celsius\) ermitteln aus den beiden Gleichungen:
\[ 0.96679 = m \cdot 20 + n \]
und
\[0.964434 = m \cdot 15 + n\]
Wir finden:
\[ m = 0.000471,\;n=0.957366.\]
Damit können wir nun in einer weiteren linearen Interpolation die Dichte bei Dichte bei 23 Massen-% und einer Temperatur von 18 \(\Celsius\) bestimmen:
\[ \rho = 0.000471 \cdot 18 + 0.957366 = 0.965844 \]
Die Dichte einer Ethanol/Wasser-Mischung mit einem Anteil von 23 Massen-% Ethanol bei einer Temperatur von 18 \(\Celsius\) ergibt sich durch lineare Interpolation zu: \[\rho = 0.965844 \frac{\rm g}{\rm cm^3}.\]
(Zioui, Flesch, 27.04.2023)
