Physikalisch-Chemische Praktika

Aufgabenstellung

1. Kalibrierung von Temperatursensoren (Pt-Widerstandsthermometer, Thermistor, Sperrschichtsensor, Thermoelement) im Temperaturintervall –20 °C bis 100 °C.
2. Bestimmung des Siedepunktes einer Flüssigkeit mittels der kalibrierten Sensoren.
3. Abschätzung der Temperatur einer Flamme durch Nutzung der hierfür geeigneten Sensoren.

Grundlagen

Bei einer Temperatur-Messung ist für die Eignung eines Sensors ein definierter Temperaturkoeffizient \(\alpha\) entscheidend, der die Änderung einer elektrischen Größe \(G\) bezogen auf eine Änderung der Temperatur angibt: \[ \alpha = \frac{\diff G}{\diff T}. \]

Bei einigen Sensoren ist \(\alpha\) aber nicht konstant, sondern eine Funktion der Temperatur (\(\alpha = \alpha(T)\)), so dass man Reihenentwicklungen oder andere Ansätze verwenden muss.

Im vorliegenden Praktikumsversuch wird eine Reihe von Standard-Sensoren charakterisiert und zur Messung von Temperaturen verwendet. Im Einzelnen handelt es sich um die folgenden Sensoren und Wirkprinzipien:

1. Widerstandsthermometer Pt-100: es beruht auf der Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes eines Platin-Drahtes. Metalle weisen einen elektrischen Widerstand \(R\) auf, der mit steigender Temperatur zunimmt. Sie werden daher als Kaltleiter bezeichnet und ihr Temperaturkoeffizient ist positiv (Positive Temperature Coefficient, PTC).
   Der mit steigender Temperatur zunehmende Widerstand kommt zustande, weil mit wachsender Temperatur Gitterschwingungen angeregt werden. Diese stellen örtlich und zeitlich wechselnde Dichteschwankungen dar, an denen die durchlaufenden Elektronen in ihrer Bewegung behindert werden (Reibung). Bei Erhöhung der Temperatur wächst zusätzlich die Anzahl der Fehlstellen im Kristallgitter, die ebenfalls zum elektrischen Widerstand beitragen.
   Der Pt-100-Widerstandssensor ist ein Platinkörper, der bei 0 °C einen Widerstand von genau \(R=100\;\Omega\) aufweist. Die Referenztemperatur von 0 °C wird gewählt, weil diese auf einfache Weise realisierbar ist (Wasser-Eis-Mischung).
   Bestimmt man in einem Temperaturintervall den Widerstand \(R\) des Pt-100-Thermometers, dann kann der Temperaturkoeffizient \(\alpha = \frac{\diff R}{\diff T}\) bestimmt werden. Im Bereich \(-20\;°{\rm C} < T < 100\;°{\rm C}\) ist der Temperaturkoeffizient hinreichend konstant, so dass Koeffizienten höherer Ordnung vernachlässigt werden können.

   Für den Widerstand \(R\) als Funktion der Temperatur gilt dann: \[ R = R_0 + \alpha \cdot T. \] Ist \(\alpha\) bekannt, kann für einen bei der Temperatur \(T\) gemessenen Widerstand \(R\) die Temperatur wie folgt bestimmt werden: \begin{equation} \label{eqPtSens} T\;[°{\rm C}] = \frac{R - R_0}{\alpha}. \end{equation}

   \(T\): aktuelle Temperatur in  °C;
   \(R_0\): Widerstand des Sensors bei 0 °C: \(R_0 = 100\;\Omega\) für einen Pt-100-Sensor und \(R_0 = 1000\;\Omega\) für einen Pt-1000-Sensor;
   \(\alpha\): Temperaturkoeffizient in \(\Omega\)/ °C;
   
   Für den Fehler der Temperatur ergibt sich: \begin{equation} \label{eqPtSensFehler} \Delta T = \sqrt{\left(\frac{\pdiff T}{\pdiff R_0} \Delta R_0\right)^2 + \left(\frac{\pdiff T}{\pdiff \alpha} \Delta \alpha\right)^2}. \end{equation}
2. Thermistor: dabei handelt es sich um ein halbleitendes Material (gesintertes Gemisch aus Metalloxiden), dessen elektrischer Widerstand mit steigender Temperatur abnimmt. Der Thermistor ist daher ein Heißleiter und sein Temperaturkoeffizient ist negativ (NTC). In einem Halbleiter kommt die elektrische Leitfähigkeit dadurch zustande, dass Elektronen aus einem Valenzband, das selbst nicht zur Leitfähigkeit beiträgt, in ein Leitungsband angehoben werden. Dabei entstehen zugleich Elektronenlöcher (Defektelektronen) im Valenzband, die geradeso zur Leitfähigkeit beitragen wie die Elektronen im Leitungsband (Löcherleitung). Zur Anregung von Elektronen aus einem Valenzband in ein Leitungsband genügt bei Halbleitern bereits die der Raumtemperatur entsprechende thermische Energie.
   Zu einem quantitativen Verständnis der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit in Halbleitern sind vertiefte Kenntnisse der Halbleiterphysik notwendig. Die nachfolgende, empirisch ermittelte ausgeprägt nicht-lineare Beziehung beschreibt den Zusammenhang zwischen der absoluten Temperatur in Kelvin und dem elektrischem Widerstand in Ohm für einem Halbleiter mit großer Genauigkeit (Steinhart-Hart-Gleichung): \begin{equation} \label{eqNTC} \frac{1}{T} = A + B \ln R + C\;\left(\ln R\right)^3. \end{equation}
   \(T\): absolute Temperatur in K;
   \(R\): Widerstand des Sensors bei der aktuellen Temperatur;
   \(A,\;B,\;C\): Temperaturkoeffizienten in \({\rm K^{-1}}\).
   
   Formal muss \(R\) jeweils durch \(1\;\Omega\) geteilt werden, damit nur der Zahlenwert des Widerstandes logarithmiert wird.
   Der Fehler in \(1/T\) ergibt sich aus \[ \Delta \frac{1}{T} = \sqrt{\left(\frac{\pdiff 1/T}{\pdiff A} \Delta A\right)^2 + \left(\frac{\pdiff 1/T}{\pdiff B} \Delta B\right)^2 + \left(\frac{\pdiff 1/T}{\pdiff C} \Delta C\right)^2 }. \]
   
3. Sperrschicht-Sensor: einer Halbleiterdiode wird in Durchlassrichtung ein konstanter Strom aufgeprägt. Der Spannungsabfall \(U_D\) an der Diode ist eine lineare Funktion der Celsius-Temperatur: \[ U_D = U_{0} + \alpha \cdot T. \] Daraus ergibt sich für die Temperatur: \begin{equation} \label{eqSperrschicht} T = \frac{U_D - U_{0}} {\alpha} \end{equation}
   \(U_D\): gemessene Durchlass-Spannung in mV;
   \(U_0\): Durchlass-Spannung der Diode bei 0 °C;
   \(\alpha\): Temperaturkoeffizient in mV/ °C;
   \(T\): aktuelle Temperatur in  °C.
   
   Der Fehler in \(T\) ergibt sich zu \begin{equation*} \Delta T = \sqrt{\left(\frac{\pdiff T}{\pdiff U_0} \cdot \Delta U_0\right)^2 + \left(\frac{\pdiff T}{\pdiff \alpha} \cdot \Delta \alpha\right)^2}. \end{equation*} Eine vereinfachte Erklärung der Zusammenhänge befindet sich im Anhang an dieser Skripte.
4. Das Thermoelement beruht auf dem Seebeck-Effekt: wird ein Metalldraht an einem Ende erhitzt (\(T_1\)), während das andere Ende kalt bleibt (\(T_0\)), dann fällt über dem Draht eine elektrische Spannung, die Thermospannung \(U_{Th}\) ab (Abb. G-1 oben).
   Formt man den Metalldraht mittig zu einer Spitze aus und erhitzt diese Spitze, dann wird man zwischen den beiden kalten Enden keine Spannung messen, da die Thermospannungen in beiden Teilstrecken \(T_1 \ldots T_0\) gleich groß sind und sich wechselseitig kompensieren (vgl. Abb. G-1 unten links).
   Verwendet man statt dessen aber zwei verschiedene Metalle und verbindet sie in einer Spitze durch Löten oder Verschweißen, dann sind die Thermospannungen längs der beiden Drähte verschieden, und die Differenz \(\Delta U_{Th}\) der Thermospannungen kann gemessen werden (vgl. Abb. G-1 unten rechts). Ist die Temperatur \(T_0\) am kalten Ort bekannt (Eiswasser!), dann kann aus \(\Delta U_{Th}\) die Temperatur \(T_1\) bestimmt werden.
   Der Einfachheit halber wird die Differenz \(\Delta U_{Th}\) als Thermospannung \(U_{Th}\) des Thermoelementes bezeichnet.

   
   

   Die Thermospannung \(U_{Th}\) je Grad Temperaturdifferenz zwischen heißer und kalter Stelle beträgt nur etwa \(\alpha = \frac{40\;{\rm \mu V}}{\;°{\rm C}}\), d.h. bei einer Temperaturdifferenz von \(100 \;°{\rm C}\) wird eine Thermospannung von lediglich ca. \(4\;{\rm mV}\) gemessen.
   Der Temperaturkoeffizient eines Thermoelementes ist \[ \alpha = \frac{\diff U_{Th}}{\diff T}. \] Sind die Referenztemperatur und die Temperatur der Messstelle beide genau gleich \(0\;°{\rm C}\), dann sollte die Thermospannung gleich Null sein. Da die Temperaturen beider Stellen aber nie einander genau gleich sind, ist eine Nullpunktskorrektur \(U_0\) erforderlich. Es ist also mit der Referenztemperatur \(0\;°{\rm C}\): \[ U_{Th} = U_0 + \alpha \cdot T \] und die Temperatur am Ort der Messstelle ergibt sich zu \begin{equation} \label{eqThermo} T = \frac{U_{Th} - U_0}{\alpha}. \end{equation} Als Fehler \(\Delta T\) erhält man, wenn man den Fehler der mit sechsstelliger Genauigkeit gemessenen Thermospannung vernachlässigt: \begin{equation*} \Delta T = \sqrt{\left(\frac{\pdiff T}{\pdiff U_0} \cdot \Delta U_0\right)^2 + \left(\frac{\pdiff T}{\pdiff \alpha} \cdot \Delta \alpha\right)^2}. \end{equation*}
   
5. Referenz-Thermometer.– Die einzige Temperatur, die wir mit einfachen Mitteln zuverlässig herstellen können, ist 0 °C (Eiswasser). Für alle anderen Temperaturen benötigen wir bei der Kalibrierung eines Sensors ein Referenz-Thermometer, dessen Temperatur-Angaben wir vertrauen. Das für diesen Versuch verwendete Referenz-Thermometer ist ein "Testotherm 720", das intern einen kalibrierten Pt-100-Widerstand verwendet. Die Absolutgenauigkeit beträgt ± 0.2 °C und die Auflösung ist 0.1 °C, d.h. das Thermometer kann 20.5 °C von 20.6 °C unterscheiden.

Durchführung

Ein typischer Arbeitsplatz ist in der Abb. D-1 gezeigt.

Sensoren

Die Anschlusskabel der Sensoren werden mit einem Steckbrett verbunden, an das die Messgeräte angeschlossen werden können (vgl. Abb. D-3).

Wenn Sie sich mit der Funktionsweise eines Steckbretts nicht auskennen, dann klicken Sie bitte hier.

Multimeter

1. Es wird ein 34401A-Tisch-Multimeter (Hersteller: Hewlett-Packard, dann Agilent, dann KeySight) verwendet.
   Dieses Messgerät ist seit Jahrzehnten der "Gold-Standard" der Multimeter und das Standard-Referenz-Instrument der Elektroingenieure. (Es ist allerdings vor einigen Jahren durch das 34461A unter lautstarken Protesten der Nutzer ersetzt worden, so dass sich der Hersteller genötigt sah, zur Beruhigung aufgebrachter Nutzer eine Kompatibilitäts-Übersicht zu veröffentlichen.)
   Das 34401A ist bei weitem präziser und empfindlicher als die üblichen digitalen Hand-Multimeter, die im Praktikum verwendet werden. Ein Nutzer-Handbuch in englischer Sprache finden Sie hier.
2. Mit dem Multimeter lassen sich Spannungen und Widerstände mit einer 6-stelligen Genauigkeit messen. Eine Spannung von \(10\;\mu{\rm V}\) lässt sich problemlos messen und von \(11\;\mu{\rm V}\) unterscheiden. Im empfindlichsten Gleichspannungs-Messbereich beträgt die Auflösung \(0.1\;{\rm \mu V} = 100\;{\rm nV}\).
3. Das Gerät verfügt über eine "Auto-Ranging"-Funktion, die automatisch einen geeigneten Messbereich auswählt. Bei der Messung sehr kleiner Spannungen, wie sie bei Thermoelementen auftreten (ca. \(40\;{\rm \mu V/°C}\)), sollte manuell der kleinste Messbereich gewählt werden. Fragen Sie Ihren Labor­assistenten zur Handhabung des Messbereichs.
4. Das Gerät verfügt über zwei Mess-Modi der Widerstandsmessung: "2W" und "4W" (W wie "wire"). Bei 4W-Messungen wird der Widerstand der Zuleitungen zum Messgerät durch gleichartige Zuleitungen kompensiert, so dass der Leitungswiderstand nicht den Messwert verfälscht. In diesem Versuch wird nur der 2W-Modus genutzt, weil alle Zuleitungen hinreichend kurz und daher niederohmig sind.

Präzisions-Stromgeber

Thermostat

Kalibriermessungen

Pt-Sensor: die Anschluss-Kontakte des Sensors werden mit den als "Pt 100" gekennzeichneten Kontakten des Steckbretts verbunden. Wenn ein Pt-1000-Sensor verwendet wird, verbinden Sie die Kontakte entsprechend mit den als "Pt 1000" gekennzeichneten Kontakten. Das Multimeter wird zur Messung des elektrischen Widerstandes verwendet; hierzu wird die Taste "\(\Omega\;{\rm 2W}\)" gedrückt. Die Anschlüsse des Multimeters werden in dieselben Spalten des Steckbretts gesteckt wie die Anschlüsse des Pt-Sensors.

Thermistor: es wird wie bei dem Pt-100-Sensor verfahren und der Widerstand des Thermistors bei den eingestellten Temperaturen gemessen.

Sperrschicht-Sensor: Die Beschaltung des Sperrschicht-Sensors ist in der Abb. D-4 gezeigt. Es kommt entscheidend auf die richtige Polung der Anschlüsse an. Der Diode wird ein konstanter Strom aufgeprägt und der Spannungsabfall \(U_D\) ("D" wie "Durchlass") wird mit dem 34401A gemessen.

Thermoelement: der Kontaktstecker des Thermoelementes wird in ein Becherglas mit Eiswasser getaucht, das sich auf einem Magnetrührer befindet, so dass die Referenztemperatur stets 0 °C beträgt. Die Anschlusskontakte am Stecker werden in den Eingang TE am Steckbrett unter Beachtung der Polung eingesteckt. Mit dem Tischmultimeter 34401A wird die Thermospannung im empfindlichsten Gleichspannungs-Bereich gemessen. Achten Sie darauf, dass sich während der Versuche stets noch Eis im Becherglas befindet. Bevor das Eis vollständig geschmolzen ist, muss es nachgefüllt werden.

Messung des Siedepunktes einer Flüssigkeit

Abschätzung der Temperatur einer Kerzenflamme: befestigen Sie das Jumo-Thermoelement an einer Stativklemme und überführen Sie das kalte Ende (den Kontaktstecker) in Eiswasser. Zünden Sie die bereitstehende Kerze an. Justieren Sie das Thermoelement so, dass sich seine Spitze unmittelbar über dem Docht der brennenden Kerze befindet. Messen Sie die sich daraus ergebende Thermospannung.

Auswertung

Kalibriermessungen

1. Pt-Sensor: tragen Sie den gemessenen Widerstand über der Temperatur auf. Führen Sie eine lineare Regression und bestimmen Sie den Temperaturkoeffizienten sowie den Widerstand \(R_0\) bei 0 °C aus den Messdaten. Orientieren Sie sich bei der Erstellung der Graphik an Abb. A-1.

   

   Setzen Sie in die Gleichung \ref{eqPtSens} die von Ihnen gefundenen Parameter ein. Spezifizieren Sie den Fehler \(\Delta T\) durch Einsetzen der Parameter in die Bestimmungsgleichung für den Fehler.
2. Thermistor: zeigen Sie die Messwerte in einer halb-logarithmischen Darstellung entsprechend Abb. A-2. Tragen Sie nachfolgend den Kehrwert der absoluten Temperatur \(\frac{1}{T}\) über \(R\) auf. Bestimmen Sie die Parameter \(A\), \(B\) und \(C\) mit Hilfe des folgenden Programmes, das als Fit-Funktion für die Datenanalyse-Software Igor Pro geschrieben ist:
   
   function Steinhart_Hart(w,x): FitFunc
   wave w
   variable x
   // w[0] = Koeffizient A
   // w[1] = Koeffizient B
   // w[2] = Koeffizient C
   return w[0] + w[1]*ln(x) + w[2]*(ln(x))^3
   end

   Typische Abbildungen der Messdaten und der Ergebnisse sind in Abb. A-2 gezeigt.

   

   

   Formulieren Sie die Steinhard-Hart-Gleichung (Gl. \ref{eqNTC}) für den von Ihnen genutzten NTC durch Einsetzen der Koeffizienten. Spezifizieren Sie ebenfalls den Messfehler \(\Delta \frac{1}{T}\).
3. Sperrschicht-Sensor: Stellen Sie die Durchlassspannung \(U_D\) als Funktion der Celsius-Temperatur graphisch dar. Orientieren Sie sich an der Abb. A-3.

   

   Spezifizieren Sie die Gl. \ref{eqSperrschicht} durch Eintragen der von Ihnen gefundenen Parameter \(U_0\) und \(\alpha\). Geben Sie unter Nutzung dieser Parameter eine Bestimmungsgleichung für den Fehler \(\Delta T\) an.
4. Thermoelement: Stellen Sie die gemessene Thermospannung \(U_{Th}\) als Funktion der Temperatur in einer Abbildung dar und ermitteln Sie aus der Ausgleichsgeraden die elektrischen Parameter \(U_0\) und \(\alpha\). Orientieren Sie sich an der nachfolgenden Abb. A-4.

   

   Spezifizieren Sie die Gl. \ref{eqThermo} durch Einsetzen der Parameter. Geben Sie unter Nutzung dieser Parameter eine Bestimmungsgleichung für den Fehler \(\Delta T\) an.

Ermittlung des Siedepunktes einer Flüssigkeit

Abschätzung einer Flammentemperatur

Anhang – Näheres zum Sperrschicht-Temperatur-Sensor

Das Wirkprinzip eines Sperrschicht-Temperatur-Sensors beruht auf der Temperaturabhängigkeit des Spannungsabfalls \(U_D\) über der Sperrschicht einer Halbleiterdiode bei konstantem Stromfluss in Durchlassrichtung. Im Folgenden wird eine stark vereinfachte Erklärung der Zusammenhänge geboten.

Halbleiterdioden stellen ein System aus einem p-dotierten und einem n-dotierten Halbleitermaterial (Germanium, Silizium) dar, die unmittelbar aneinander grenzen.

Zwischen dem p-Gebiet und dem n-Gebiet entsteht eine Grenzschicht, in die die jeweiligen Majoritätsträger (Elektronen aus der n-Zone, Defektelektronen aus der p-Zone) diffundieren und sich durch Rekombination gegenseitig auslöschen. Die n-Zone verarmt dadurch an Elektronen und lädt sich positiv auf, während die p-Zone an Defektelektronen verarmt und sich negativ auflädt. Mit zunehmender Ladung wird der Austritt der jeweiligen Majoritätsträger erschwert, bis sich ein Gleichgewichtszustand einstellt, in dem zwischen der n- und der p-Zone ein Bereich mit einer Breite von größenordnungsmäßig \(10\;{\rm \mu m}\) existiert, in dem fast keine freien Ladungsträger existieren und die daher als Sperrschicht oder pn-Übergang bezeichnet wird. Längs der Sperrschicht existiert eine durch den Ladungszustand der n- und p-Zone verursachte Diffusionsspannung, die im Inneren der Grenzschicht ein elektrisches Feld erzeugt. Der Betrag der Diffusionsspannung ist elementabhängig und beträgt für Silizium etwa \(0.6 – 0.7\; {\rm V}\); für Germanium erhält man etwa \(0.3 – 0.35\;{\rm V}\). Dies ist schematisch in der Abb. Dio0 gezeigt.

Eine Halbleiter-Diode ist ein als Bauelement ausgeführter pn-Übergang. In der Abbildung Dio-1 ist das Schaltzeichen der Diode zusammen mit einer schematischen Darstellung des Bauelementes gezeigt.

Legt man an das pn-System eine äußere Spannung so an, dass die an Elektronen verarmte n-Schicht mit dem Minuspol der Spannungsquelle und verbunden und die an Defektelektronen verarmte p-Schicht mit dem Pluspol der Spannungsquelle verbunden sind (Durchlassrichtung), dann bietet man der n-Schicht Elektronen und der p-Schicht Defektelektronen an. Die jeweiligen Majoritätsträger wandern in dem durch die äußere Spannung erzeugten elektrischen Feld in die Sperrschicht. Es fließt ein von der angelegten Durchlassspannung \(U_D\) abhängiger Durchlassstrom \(I_D\).
Polt man die externe Spannungsquelle um (Sperrrichtung), dann fließt nur ein von den Minoritätsträgern getragener Sperrstrom, der viele Größenordnungen kleiner ist als der Durchlassstrom.

Die Durchlasskennlinie einer Diode wird vom elektrischen Verhalten der Sperrschicht und der an diese angrenzenden n- und p-Schicht beeinflusst. Betrachtet man nur die Sperrschicht, dann lässt sich der Durchlassstrom \(I_D\) als Funktion der Durchlassspannung \(U_D\) durch die Shockley-Gleichung beschreiben: \begin{equation*} I_D = I_S \cdot \exp \left(\frac{U_D}{ U_T} -1 \right). \end{equation*} Hierin ist \(U_T\) die Temperaturspannung \[ U_T = \frac {k_B T}{e_0} \] und \(I_S\) der Sättigungssperrstrom; dies ist der Strom, der bei Anlegen einer Sperrspannung fließt.
Bei Raumtemperatur (T=293 K) ist \(U_T\) etwa gleich 25 mV. Für \(U_D \gg U_T\) kann der Summand 1 vernachlässigt werden. Man erhält dann: \begin{equation} \label{eqShockley} I_D = I_S \cdot \exp \left(\frac{U_D \cdot e_0}{k_{B}\cdot T} \right). \end{equation} Der Sättigungssperrstrom \(I_S\) in Gl. \ref{eqShockley} ist keine Konstante, sondern selbst eine Funktion der Temperatur. Da er von der temperaturabhängigen Minoritäts-Ladungsträgerdichte im Halbleiter abhängt, kann für den Zusammenhang mit der Temperatur näherungsweise wie bei dem bereits diskutierten Thermistor ein Arrhenius-Ansatz formuliert werden: \[ I_S = I_0 \cdot \exp \left(\frac{– E_g}{k_B \cdot T} \right), \] worin \(E_g\) die Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband bezeichnet. Die Größe \(I_0\) ist zwar selbst ebenfalls zur dritten Potenz temperaturabhängig; dies kann aber neben dem exponentiellen Term vernachlässigt werden, so dass \(I_0\) als konstant betrachtet werden kann [Sze-2007].
Für den Durchlassstrom erhält man somit insgesamt: \begin{align*} I_D &= I_0 \cdot \exp \left(\frac{– E_g}{k_B \cdot T} \right) \cdot \exp \left(\frac{U_D \cdot e_0}{k_{B} \cdot T} \right). \end{align*} Hält man \(I_D\) konstant und ändert die Temperatur von \(T_1\) auf \(T_2\) mit den ihnen entsprechenden Durchlassspannungen \(U_{D_1}\) und \(U_{D_2}\), dann ergibt sich \[ \frac{I_0 \cdot \exp \left(\frac{– E_g}{k_B \cdot T_2} \right) \cdot \exp \left(\frac{U_{D_2} \cdot e_0}{k_{B} \cdot T_2} \right)}{I_0 \cdot \exp \left(\frac{– E_g}{k_B \cdot T_1} \right) \cdot \exp \left(\frac{U_{D_1} \cdot e_0}{k_{B} \cdot T_1} \right)} = \frac{I_D}{I_D} = 1 \] und damit \[ { \exp \left(\frac{U_{D_2} \cdot e_0 - E_g}{k_{B} \cdot T_2} \right)} = \exp \left(\frac{U_{D_1} \cdot e_0 - E_g}{k_{B} \cdot T_1} \right). \] Also gilt für die Exponenten nach Multiplikation beider Seiten mit \(-1\): \[ \frac{E_g - e_0 \; U_{D1} }{k_B \cdot T_1} = \frac{E_g - e_0 \; U_{D2} }{k_B \cdot T_2}. \] Demnach gilt mit der Konstanten \(C\): \[ \frac{E_g - e_0 \; U_{D} }{k_B \cdot T} = C. \] Nach \(U_D\) aufgelöst erhält man: \begin{equation} \label{eqAlphaDiode} U_D = \frac{E_g}{e_0} - \frac{C \cdot k_B }{e_0} \cdot T \end{equation} mit dem Temperaturkoeffizienten \[ \alpha = - \frac{C \cdot k_B }{e_0}. \]

Im Praktikumsversuch wird der Diode ein Konstantstrom von \(I_D=10\;{\rm \mu A}\) aufgeprägt und die Durchlassspannung als Funktion der Temperatur gemessen.

Ist alles genau genug erklärt? Steht Überflüssiges in der Skripte? Teilen Sie der Praktikumsleitung Ihre Auffassung mit!